Question

已知函数f（x）=1/2cosx^2-sinxcosx-1/2sinx^2 （1）求函数的最小正周期 （2）求函数的图像的对称轴方程

（3）求函数的单调区间

Answer 1

f(x)=1/2cos²x-sinxcosx-1/2sin²x
=1/2(cos²x-sin²x)-sinxcosx
=1/2cos2x-1/2sin2x
=√2/2(√2/2cos2x-√2/2sin2x)
=√2/2sin(π/4-2x)
(1) 函数的最小正周期：2π/2=π
(2) 函数的图像的对称轴方程：x=3π/8+kπ
(3) 单调减： 2kπ-π/2<2x-π/4<2kπ+π/2
2kπ-π/4<2x<2kπ+3π/4
kπ-π/8<x<kπ+3π/8
单调增： 2kπ+π/2<2x-π/4<2kπ+3π/2
2kπ+3π/4<2x<2kπ+7π/4
kπ+3π/8<x<kπ+7π/8

追问

最小正周期：2π/2=π
为什么呀？

Answer 2

【分析】
先根据二倍角公式和辅角公式将函数化简为f（x）=Acos（wx+ρ）的形式
（1）根据T=2π/w可得到答案；
（2）将2x+π/4看作一个整体，由余弦函数的对称性可得到答案；
（3）将2x+π/4看作一个整体，由余弦函数的单调性可得到答案。
【解答】
解：
f(x)=(1/2)[(cos²x-sin²x)-2sinxcosx]
=(1/2)(cos2x-sin2x)
=(√2/2)cos(2x+π/4)
(1)
f(x)的最小正周期是：
T=2π/2=π
(2)
2x+π/4=kπ
则x=(kπ/2)-(π/8)，k∈Z
∴f(x)函数图象的对称轴方程是：
x=(kπ/2)-(π/8)，k∈Z
（注：若写成x=kπ-(π/8)或x=kπ+(3π/8)，k∈Z也可以）
(3)
令2kπ≤2x+(π/4)≤2kπ+π
则kπ-(π/8)≤x≤kπ+(3π/8)，k∈Z
令2kπ-π≤2x+(π/4)≤2kπ
则kπ-(5π/8)≤x≤kπ-(π/8)，k∈Z
故f(x)的单调增区间为：
[kπ-(5π/8)，kπ-(π/8)]，k∈Z
f(x)的单调减区间为：
[kπ-(π/8)，kπ+(3π/)8]，k∈Z