Question

已知数列{an}中,a1=2/3,an+1=2an/1+an,求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：
a(n+1)=2an/(1+an)
1/a(n+1)=(1+an)/(2an)=(1/2)(1/an) +1/2
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2，为定值。
1/a1 -1=1/(2/3) -1=3/2 -1=1/2
数列{1/an -1}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
1/an -1=(1/2)×(1/2)^(n-1)=1/2ⁿ
1/an=1+ 1/2ⁿ=(2ⁿ+1)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ+1)
n=1时，a1=2/(2+1)=2/3，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(2ⁿ+1)

Answer 2

答：
因为a(n+1)=2an/(1+an)
所以1/a(n+1)=(1+an)/(2an)=1/2+1/(2an)
令{bn}={1/an}，当n=1时b1=3/2
所以b(n+1)=1/2+bn/2
用待定系数法：b(n+1)+k=(bn+k)/2，
即b(n+1)=(bn-k)/2，即-k=1，所以k=-1；
所以b(n+1)-1=(bn-1)/2
即[b(n+1)-1]/(bn-1)=1/2
当n=1时b1-1=1/2
所以{bn-1}是以首项为1/2，公比为1/2的等比数列。
所以bn-1=1/2^n
所以bn=1+1/2^n
所以an=1/(1+1/2^n)=2^n/(1+2^n)=1-1/(1+2^n)
an=1-1/(1+2^n)

Answer 3

解：an+1=2an/(1+an)，取倒数得：1/(an+1)=(1+an)/2an，即1/(an+1)=1/2+1/2an，左右两边减1
得:1/(an+1) -1=1/2an-1/2=(1/an-1)/2，即：[1/(an+1) -1]/[(1/an-1)]=1/2，所以数列{1/an-1}是公比为1/2，首相为1/2的等比数列，1/an-1=(1/2)*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n，所以an=1/[(1/2)^n+1]