Question

[(x+1) /x]^x的极限为什么是e

Answer 1

lim(1+1/n)^n 是个一个超越数，因为这个极限的值非常重要，于是直接定义了e来表示它，所以这是e的定义式。就好像π是定义出来的，没有为什么，我们直接为那个值取了个符号来表示它。（类似，我们定义1,0一样，e和π有同样的地位。）
最早提到lim(1+1/n)^n 这个式子是在威尼斯商人里面计算复利的式子，法国数学家刘维尔最先推测e，数学家埃尔米特证明e是超越数。
至于e的值怎么计算，有一个计算的级数e=(1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!)...... 注：这个式子是用二项式定理推出来的。不是定义式。

Answer 2

lim(x→∞) [(x+1) /x]^x
=lim(x→∞) (1+1 /x)^x
这就是高数书上的两个重要极限之一呀

Answer 3

需要严格的证明高数上也没有明确的，参见高等数学第五版上册52-54面
看看就行，不必较真