Question

如图,在平面直角坐标系中,A点坐标为(1.根号3),点B在X轴的负半轴上,△AOB的面积是根号3.

（1）求过点A、O、B的抛物线的关系式；（2）在（1）中的抛物线的关系式的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中，x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过P点作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形。使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：1.设抛物线方程为：y=ax2+bx+c,把A,O,B三点的坐标代入方程求方程。
c=0,
a+b=根号3
4a-2b=0
a=根号3/3,
b=2倍根号3/3
抛物线方程为:y=根号3/3x2+2倍根号3/3x.
2.抛物线方程为:y=根号3/3x2+2倍根号3/3x.
对称轴：x=-b/2a=-1,点A关于对称轴x=-1的坐标A1为(-3,根号3），连接OA1与x=-1的交点即为所求的点C,OC的直线方程为：y=-根号3*x/3，C点坐标（-1，根号3/3）。
3.设p点坐标为（a,根号3/3a2+2倍根号3/3a).三角形AOB的面积=1/2*2*根号3=根号3，直线AB的方程为：y=根号3/3x+2倍根号3/3.
当S三角形OBD/S四边形BPOD=2/3，即：S三角形OBD/S三角形OBP=2
1/2*2*(根号3/3a+2倍根号3/3)/1/2*2*(根号3/3a2+2倍根号3/3a)=2
a=-2,(不合题意舍去） a=-1/2
P点坐标为（-1//2,-根号3/4),

Answer 2

解：1.设抛物线方程为：y=ax2 bx c,把A,O,B三点的坐标代入方程求方程。
c=0,
a b=根号3
4a-2b=0
a=根号3/3,
b=2倍根号3/3
抛物线方程为:y=根号3/3x2 2倍根号3/3x.
2.抛物线方程为:y=根号3/3x2 2倍根号3/3x.
对称轴：x=-b/2a=-1,点A关于对称轴x=-1的坐标A1为(-3,根号3），连接OA1与x=-1的交点即为所求的点C,OC的直线方程为：y=-根号3*x/3，C点坐标（-1，根号3/3）。
3.设p点坐标为（a,根号3/3a2 2倍根号3/3a).三角形AOB的面积=1/2*2*根号3=根号3，直线AB的方程为：y=根号3/3x 2倍根号3/3.
当S三角形OBD/S四边形BPOD=2/3，即：S三角形OBD/S三角形OBP=2
1/2*2*(根号3/3a 2倍根号3/3)/1/2*2*(根号3/3a2 2倍根号3/3a)=2
a=-2,(不合题意舍去） a=-1/2
P点坐标为（-1//2,-根号3/4),

Answer 3

Answer 4

(1), B(0,-根号（3））
x = (y + 根号（3）/2）^2 - 3/4