Question

这道数学题怎么做呀？？

如图，在三角形ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H。

（1）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；

（2）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与三角形ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式。

Answer 1

（1） 因为FP垂直PC，∠C=45°，所以FP=PC
同理AD=DC=8
所以BD=BC-DC=10-8 =2
三角形EBQ和三角形ABQ相似
所以AD：DB = EQ：QB
AD：DB = 8：2 = 4：1= EQ：QB
即FP=EQ=4QB
设FP为y，即矩形EFPQ的高为y
则BC= BQ+QP+PC = FP*1/4+EF+FP = y*1/4 + x+ y = x+5/4y=10
y = 4/5(10-x) = 8 - 4/5x
矩形EFPQ的面积为
s=x*y
=x*（8 - 4/5x）
= - 4/5x^2 + 8x
= -4/5(x-5)^2 + 20
当 x=5 时取面积最大值20

（2）
面积最大时X=5，即 EF=5
t = 0时，所围面积就是矩形EFPQ的面积 = 20
当矩形沿着QC移动时，右上角会逐渐离开三角形，EF超出AC的距离就等于 t
超出的部分是一个直角等腰三角形，腰长为 t
所以总重叠面积就是矩形面积减去该三角形面积
S = 20-1/2*t^2

Answer 2

解：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴AH：AD=EF：BC；
∵BC=10，高AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=45x
∴EQ=HD=AD-AH=8-45x，
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-45x）=-45x2+8x=-45（x-5）2+20，
∵-45＜0，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

追问

还有一题呀。

追答

2）
面积最大时X=5，即 EF=5
t = 0时，所围面积就是矩形EFPQ的面积 = 20
当矩形沿着QC移动时，右上角会逐渐离开三角形，EF超出AC的距离就等于 t
超出的部分是一个直角等腰三角形，腰长为 t
所以总重叠面积就是矩形面积减去该三角形面积
S = 20-1/2*t^2