Question

设z是复数,w=z+1/z是实数,且-1<w<2

（1）设u=（1-z)/(1+z),求证u为纯虚数（2）求w-u�0�5的最小值

Answer 1

z=a+ib, b=\=0, a, real, b realw=z+1/z=a+ib+(a-ib)/(a^2+b^2)=a+a/(a^2+b^2)+i{b-b/(a^2+b^2)}b-b/(a^2+b^2)=0 ------>b(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)=0 ------>a^2+b^2=1-1<w<2----->-1<2a<2------.>-1/2<a<1u=(1-z)/(1+z)=(1-a-ib)/(1+a+ib)=(1-a-ib)(1+a-ib)/{(1+a)^2+b^2}={(1-ib)^2-a^2}/(2a)={1-2ib-b^2-a^2)/(2a)=-ib/a f(a)=w-u^2=2a-(ib/a)^2=2a+b^2/a^2=2a+(1-a^2)/a^2=2a+1/a^2-1f'=2-2/a^3---->a=1f''=6/a^4-->f(1)>0所以 极小值在a=1, 可是题目说-1/2< a<1，难道我做错了？你自己检查一下吧