Question

偏导数求切线问题

曲线｛z=(x^2+y^2)/4,y=4｝在点（2.4.5）处的切线对于X轴的倾角是多少？这为什么用的是偏导数？能否用空间坐标说明几何意义？全导是切线，偏导是什么？

Answer 1

曲线｛z=(x²+y²)/4，y=4｝在点（2.4.5）处的切线对于X轴的倾角是多少？

解：z=(x²+y²)/4是一个顶点在原点，以z轴作轴线的倒立的正园锥；y=4是一个过(0，4，0)且平行于

xoz坐标面的平面。那么曲线就是用y=4的平面去切该锥面所形成的切口轮廓线，将y=4代入锥面方程，得z=(x²+16)/4=(1/4)x²+4，显然这是一条抛物线；点(2，4，5)在锥面上，也在此抛物线上，因此dz/dx=∂z/∂x=(1/2)x∣[x=2]=1；即在点（2.4.5）处的切线对于X轴的倾角是45⁰。

Answer 2

由y=f(x)在某一点x0处求导 则得到函数f(x)在x0处的斜率（也就是切线）那么如果我们的函数是z=f(x,y)的形式的能 这导怎么求？所以我们就有了偏倒偏倒是相对于自变量而言 比如上例子中 函数z对x的偏倒其实就是把y 当作一个常量 单单对x求导数 同样的函数z对y求偏倒也是一样（把x当作常量对待）那么函数z的导数（这个时候其实叫做全导数了或者叫全微分） 它就是函数z 对各个自变量偏倒的和 就是一起加起来

Answer 3

解：曲线方程化为：x=x，y=4，z=(x�0�5+16)/4→曲线在点(2，4，5)处的切线方向向量为(1，0，1)。 由cosα=ax/|a|=√2/2→α=π/4 故：曲线在点(2，4，5)处的切线对于x轴的倾角是π/4。