Question

2013江苏盐城第二次模拟考试数学第14题

若实数abcd满足a^2-2Ina/b＝3c-4/d＝1 则(a-c)^2+（b-d）^2的最小值为
答案是2/5(1-In2)^2，求过程啊

Answer 1

把（a,b),(c,d)看做两个点的坐标，由条件知a^2-2Ina=b，这看做一个函数，同理d=3c-4这是一个直线方程，原式表示函数x^2-2Inx=y上一点到直线y=3x-4上一点距离的平方，显然是该函数到直线的垂直距离最短，即d^2=(3x-y-4）^2/ 10，其中y=x^2-2Inx 然后求（3x-x^2+2lnx）2最小值就可以了

Answer 2

要注意下这个式子a^2-2Ina/b＝3c-4/d＝1相当复杂，显然不可能让你解开，怎么办呢？让我们先研究一下要求的(a-c)^2+（b-d）^2最小值？如果没有限制那只能是0了，因为是两个非负数相加。从这个思路入手，因为是小题，我们可以使用特殊值法，假使a=b=c=d呢？那么明显所求值的最小值就是0，下面验证一下能否符合条件。3c-4/d＝1又c=d可得c=d=-1=a=d再把a b的值代入
a^2-2Ina/b中可得=1果然符合条件。所以那些完全没有演算猜了0的同学们恭喜了--！

Answer 3

把b，d看作y，把ac看作x即为方程组 y=x²-2lnx y=3x-4 因为后面的式子即求两点（a，b）（c，d）的距离，画张图 大概看下（也就是平行移动） 即为相切时有最小值 于是么就 设切点（x0y0）有导函数y'=3 得x=2，所以切点就是（2，4-2ln2） 由点到直线的距离d²=（6-4+2ln2-4 / 根号10）²=2（ln2-1）²/5