Question

已知三角形ABC的三个顶点的直角坐标系分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0),若角A是钝角，则c的取值范围为多少

Answer 1

易知C点在x轴上，只要不和B点重合，A B C三点就能构成三角形。
下面求满足∠A是钝角的c的范围：
C点在B点左边时，不管c取何值，∠A均是锐角。不满足条件。
C点在B点右边时，先求出当角A是直角时C点的值，由勾股定理：BC平方-AB平方＝AC平方
(AC的平方等于A点和C点在两个坐标轴向差的平方的和，表示为(c-3)^2+（4-0）^2＝(c-3)^2+4^2。----(c-3)^2表示(c-3)的平方) 即,
c^2-5^2=(c-3)^2+4^2
求得c＝25/3 ，
所以当∠A是钝角时，需满足：c>25/3

Answer 2

若角A是直角，则:AB²+AC²=BC²

∴(3-0)²+(4-0)²+(3-c)²+(4-0)²=(c-0)²+(0-0)²

解得：c=25/3
若角A是钝角，则c的取值范围为c>25/3.

本题还有2种情况，1、角C是钝角时，0<c<3
2、角A是钝角时，c<0
不过不是本题研究的范围。

Answer 3

由题意可知：
向量AB=（0，0）-（3，4）=（-3，-4）
向量AC=（c，0）-（3，4）=（c-3，-4）
那么：数量积 向量AB·向量AC=-3(c-3)+(-4)*(-4)=-3c+25
又向量AB·向量AC=|AB|*|AC|*cosA且∠A是钝角
那么：cosA<0
故有：向量AB·向量AC<0
即：-3c+25<0
解得：c>25/3