Question

已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0

），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（-1，yC）在该抛物线上．
当y0≥0恒成立时，求
yAyB-yC的最小值．yA/(yB-yC)

ya=a+b+c yb=c yc=a-b+c
c>=b^2/4a
所以ya/(yb-yc)=a+b+c/b-a>(a+b+b^2/4a)/(b-a)
分式上下除a的平方，并设b/a=m>2
可得（2+m)^2/4(m-1)
求上式的最小值即可 当m=4时取最小值为3
此时b=4a
谁能帮我解释一下这种解法如能让我明白我会双倍加分

Answer 1

ya=a+b+c yb=c yc=a-b+c （这一步是分别把x=-1,0,1带进去）
c>=b^2/4a （顶点纵坐标是c-b^2/4a，依题意，它大于等于0）
所以ya/(yb-yc)=a+b+c/b-a>(a+b+b^2/4a)/(b-a) （就是把c带进去了）
分式上下除a的平方，并设b/a=m>2 （利用0<2a<b，并换元为了后面好表示）
可得（2+m)^2/4(m-1)
求上式的最小值即可 当m=4时取最小值为3

（这个求法我详细讲一下：算是难点吧
（2+m)^2/4(m-1)
=1/4*[(m²+4m+4)/(m-1)]
=1/4*[m+5+9/(m-1)]
=1/4*[m-1+9/(m-1)+6] 利用平均值不等式
≥1/4*[2*√9+6]=3
当m-1=9/(m-1),即m=4时等号成立
b/a=m=4
b=4a

如果认为讲解不够清楚，请追问。
祝：学习进步！

追问

a/(yb-yc)=a+b+c/b-a>(a+b+b^2/4a)/(b-a)是怎么得到（2+m)^2/4(m-1)的？
麻烦写一下代数过程

追答

将(a+b+b^2/4a)/(b-a)分子分母同时除以a，再将m=b/a带进去就得到了。

追问

带入后得到的是 (1+m+4m^2)/(m-1)怎么化简得到（2+m)^2/4(m-1)

追答

您写错了。
这一项4m^2的系数是1/4而不是4

追问

最后再问一下 1/4*[m-1+9/(m-1)+6] 为什么≥1/4*[2*√9+6] ？
最好在帮忙解释一下平均不等式 我刚上初二这些知识还没学

追答

好的。平均值不等式就是说a²+b²≥2ab，a，b是实数
并且有很多均值不等式的变形，比如a+b≥2√ab，这就要求a,b是正实数
在

1/4*[m-1+9/(m-1)+6]中，先只看m-1+9/(m-1)，因为其他的是常数，所以暂时不管
把m-1看成上面公式(2)中的a，9/(m-1)看成公式里的b，就得到了m-1+9/(m-1)≥2*√9
然后再把旁边那些常数，系数什么的添上去，就行了。

至于均值不等式的证明，很简单啦
a²+b²≥2ab
移项后配方，就是(a-b)²≥0，这显然是成立的。证毕。

Answer 2

更大嘎的大噶但萨嘎打工撒