Question

一道证明题谢谢

证明ln（n＋1）╱n＞1╱（2n＋1）别用复合函数求导谢谢

Answer 1

证明：要证ln(n+1)/n>1/(2n+1)
即证ln(n+1)>n/(2n+1)
即 ln(n+1)>1/(2+1/n)
上述不等式左边ln(n+1)>in2=0.69
右边1/(2+1/n)<1/2=0.5
即左边最小的大于右边最大的 可知 不等式 ln(n+1)>1/(2+1/n) 恒成立 上述每步可逆
即ln（n＋1）╱n＞1╱（2n＋1）

其实构造函数求导更方便啊

追问

（n＋1）╱n是一个整体啊ln［（n＋1）╱n］不好意思我打的产生歧义了，用什么方法都行啊谢谢了

追答

是要证明ln[（n＋1）╱n]＞1╱（2n＋1）的吧
设函数 f(n)=ln[（n＋1）╱n]-1╱（2n＋1)
对f(n)求导得 f'(n)=(2n^2-1)/(2n+1)(n^2+n) 可知f'(n)>0
即f(n)单调递增 则 f(n)>f(1)=ln2-1/3>0
即f(n)>0 所以 ln[（n＋1）╱n]＞1╱（2n＋1）