老师,有一问题请教,谢谢详解!
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)(1)求f(x)的单调区间。(2)设g(x)=x^2-2x+2,若对任意b∈(0,+∞),均存在c∈[0.1],使得f(b)<g(...
已知函数f(x)=ax+lnx (a∈R) (1)求f(x)的单调区间。 (2)设g(x)=x^2-2x+2,若对任意b∈(0, +∞),均存在c∈[0.1],使得f(b)< g(c),求a的取值范围。
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解:(1)若a≥0, 求导, 则f'(x)=a+1/x 恒大于0,(∵x>0,对数的定义域)∴x∈(0, +∞)。f(x)=ax+lnx单调上升
若a<0,当a+1/x ≥0,得0<x≤-1/a,f(x)单调上升,当a+1/x< 0得x>-1/a,f(x)单调下降。
(2)∵c∈[0.1], 函数g(x)=x^2-2x+2 关于直线x=1对称,g(x)在[0.1]单调下降。∴最大值g(x)max=g(0)=2,最小值g(x)min=g(1)=1。依题意有f(b)=ab+lnb<2,a<(2-lnb)/b ,令Q(x)=(2-lnx)/x, 对Q(x)求导,有Q‘(x)=-(3-lnx)/x² 当x=e³时,Q‘(x)=0,Q(x)取得最小值-1/e³,即a<-1/e³。
若a<0,当a+1/x ≥0,得0<x≤-1/a,f(x)单调上升,当a+1/x< 0得x>-1/a,f(x)单调下降。
(2)∵c∈[0.1], 函数g(x)=x^2-2x+2 关于直线x=1对称,g(x)在[0.1]单调下降。∴最大值g(x)max=g(0)=2,最小值g(x)min=g(1)=1。依题意有f(b)=ab+lnb<2,a<(2-lnb)/b ,令Q(x)=(2-lnx)/x, 对Q(x)求导,有Q‘(x)=-(3-lnx)/x² 当x=e³时,Q‘(x)=0,Q(x)取得最小值-1/e³,即a<-1/e³。
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当a〉0时,函数为增函数单调区间(x〉0),当a〈0时,函数为减函数单调区间(x〉0).
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这TMD也太难了点吧,~不懂,绕过。。。。
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没学呢。。。。
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