Question

老师，有一问题请教，谢谢详解！

已知函数f(x)=ax+lnx (a∈R) (1)求f(x)的单调区间。 （2）设g(x)=x^2-2x+2,若对任意b∈(0, +∞),均存在c∈[0.1],使得f(b)< g(c),求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）若a≥0， 求导， 则f'(x)=a+1/x 恒大于0，（∵x＞0，对数的定义域）∴x∈(0, +∞)。f(x)=ax+lnx单调上升
若a＜0，当a+1/x ≥0，得0＜x≤-1/a，f(x)单调上升，当a+1/x＜ 0得x＞-1/a，f(x)单调下降。
（2）∵c∈[0.1], 函数g(x)=x^2-2x+2 关于直线x=1对称，g(x)在[0.1]单调下降。∴最大值g(x)max=g(0)=2，最小值g(x)min=g(1)=1。依题意有f(b)=ab+lnb<2,a＜(2-lnb)/b ,令Q(x)=(2-lnx)/x, 对Q(x)求导，有Q‘(x)=-（3-lnx）/x² 当x=e³时，Q‘(x)=0，Q(x)取得最小值-1/e³，即a＜-1/e³。

Answer 2

当a〉0时，函数为增函数单调区间（x〉0）,当a〈0时，函数为减函数单调区间（x〉0）.

Answer 3

这TMD也太难了点吧，~不懂，绕过。。。。

Answer 4

没学呢。。。。