Question

已知函数f(x)=ax^3-3x^2+1(x≥0),若f(x)的图像与x轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围

如图，要过程。。

Answer 1

f(x)=ax^3-3x^2+1(x≥0),f（0）=1，
f'(x)=3ax^-6x,
a<=0时x>0,f'(x)<0,满足题设；
a≠0时由f'(x)=0得x=0,2/a,
a>0时0<x<2/a,f'(x)<0;x>2/a,f'(x)>0,仅当f(2/a)=8/a^-12/a^+1=0,a=2时满足题设；
综上，a 的取值范围是a<=0,或a=2.

Answer 2

a=0 f(x)=-3x^2+1 符合题意
a不等于0时 f'(x)=3ax^2-6x
f'(x)=0 得x=0 或 2/a
当a<0 f(x)在(-∞,2/a),(0,+∞)上单减
在(2/a,0)上单增
此时只要满足f(0)>=0解出a的范围即可
当a>0时 f(x)在(-∞,2/a),(0,+∞)上单增
在(2/a,0)上单减
此时只要满足f(0)<0或者f（a/2）=0解出a的范围即可
以上三个范围求并集即可