Question

设数列{an｝的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=an2+2an+1

设m、k、p为正整数,m+p=2k,求证1/Sm+1/Sp≥2/Sk

Answer 1

解析： 4Sn=an2+2an+1，当n≥2时，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相减，得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an>0知an-an-1=2，所以{an}是2为公差的等差数列，当n=1时，由4S1=a12+2a1+1 a1=1，故an=2n-1.1/Sm+1/Sp=1/m2+1/p2 = m2 + p2 /m2 p2 2/Sk =2/k2=8/(p+m)2只需证</SUP>(m2 + p2 )(p+m)2≥8m2 p2 很显然m2 + p2 ≥2mp，(p+m)2≥4pm。得证

Answer 2

n=1时，
4a1=4S1=a1²+2a1+1
a1²-2a1+1=0
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，
Sn=(an²+2an+1)/4 S(n-1)=[a(n-1)²+2a(n-1)+1]/4
Sn-S(n-1)=an=(an²+2an+1)/4 -[a(n-1)²+2a(n-1)+1]/4
整理，得
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列各项均为正，an+a(n-1)>0，要等式成立，只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
Sn=(a1+an)n/2=n(1+2n-1)/2=n²
1/Sm+1/Sp- 2/Sk

=1/m²+1/p² -2/k²
=(p²k²+m²k²-2m²p²)/(m²p²k²)
=[k²(p²+m²)-2m²p²]/(mpk)²
k²(p²+m²)-2m²p²
=[(p+m)/2]²(p²+m²)-2m²p²
=(p+m)²[(p+m)²-2pm]/4 -2m²p²
=[(p+m)⁴-2pm(p+m)² -8m²p²]/4
=[(p+m)²-4pm][(p+m)²+2pm]/4
=(p²+2pm+m²-4pm)[(p+m)²+2pm]/4
=(p²-2pm+m²)[(p+m)²+2pm]/4
=(p-m)²[(p+m)²+2pm]/4
p，m为正整数，(p+m)²+2pm恒>0，平方项恒非负，(p-m)²≥0，又分母4为正常数，因此
(p-m)²[(p+m)²+2pm]/4≥0，当且仅当p=m时取等号。

[k²(p²+m²)-2m²p²]/(mpk)²≥0，当且仅当p=m时取等号。

1/Sm+1/Sp- 2/Sk≥0，当且仅当p=m时取等号。
1/Sm+1/Sp≥2/Sk，不等式成立，且当且仅当p=m时取等号。