Question

已知函数f(x)=ax的三次方+bx的平方+d的图像过点P(0,1),且在点M(1,f(1))处的切线方程为3x+y-2=0

求函数y=f（x）的解析式
求函数y=f（x）在[-1,m]上的最大值

Answer 1

解：将P（0,1）代入函数得：d=1；将M（1,f(1))带入函数得：f（1）=a+b+1;函数求导得f'(x)=3ax^2+2bx, 则
f'(1)=3a+2b;M(1,a+b+1)带入直线方程得：3+a+b+1-2=0；①方程斜率即是函数得导数：-3=3a+2b;② 联立①②求得a=1,b=-3。所以f（x）=x^3-3x^2+1
第二问：f'（x)=3x^2-6x 令f'(x)=2 则x=0或2 则函数在【-∞，0】与【2，+∞】上递增，在（0,2）上递减，极大值f(0)=1,令f(x)=1 则x=0 或3,所以
-1<m<0是 ，最大值是f(m)=m^3-3m^2+1
0<=m<=3 是：最大值是f(0)=1,
m>3 是最大值是f(m)=m^3-3m^2+1
在第二问过程中，画出导数图像与函数图像，求出极大值，后分类讨论

Answer 2

（1）根据题意可得，b=1；f(1)= - 1，f '(x)=3ax2+2bx,所以f(1)=a+b+1=-1,f '(1)=3a+2b=-3,联立两个式子，可以得到a=1,b= - 3,所以f(x)=x3-3x2+1；
（2）f '(x)=3x2-6x，f '(x)=0------x=0或x=2, f '(x)<0------0<x<2,f '(x)>0------- -1<x<0或x>2,f(0)为极大值点，f(2)为极小值点，可大致画出此函数的图像，且f(3)=f(0)=1,所以在[-1,m]上，当m<=0时，f(x)max=f(m)=m3-3m2+1,当0<m<=3时，f(x)max=f(0)=1,当m>3时，f(x)max=f(m)=m3-3m2+1.
希望满意，呵呵~~~~