Question

数学分析证明题，高阶偏导数

20.设fx,fy和fyx在点(x0,y0) 的某领域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,证明fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),

Answer 1

定义
I(u,v) = [f(x0+u,y0+v)-f(x0+u,y0)-f(x0,y0+v)+f(x0,y0)] / (uv)
那么I(u,v)可以化到f_{yx}(x0+au,y0+bv), 0<a,b<1
所以u,v->0时I有两重极限
注意u->0或v->0时I都有极限, 用两重极限和累次极限的关系即得结论

Answer 2

由于它的抽象性和难以表述性。几乎每一本大学课本都是证明从略，直接给出定理。现给出其几何意义的证明

z=f(x,y)是一个曲面，对x的偏导数可以看成对在y=a的截面所得曲线的导数。对y的偏导数可以看成对在x=a的截面所得曲线的导数。而二者x,y两变量没有关系，也就是说，先后求导只是次序问题，对两变量相互不产生影响。

Answer 3

这类问题在百度里很少有回答的吖~这事还是回学校讨论吧