高等数学线性代数问题
设a1,a2,b1,b2均为三维列向量,且a1,a2线性无关,b1,b2线性无关,证明:存在非零向量m,使得m即可由a1,a2线性表示,又可由b1,b2线性表示。求详解,...
设a1,a2,b1,b2均为三维列向量,且a1,a2线性无关,b1,b2线性无关,证明:存在非零向量m,使得m即可由a1,a2线性表示,又可由b1,b2线性表示。
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四个向量都是三维列向量,所以四个向量组成的向量组a1,a2,a1,a2一定线性相关,所以存在不全为零的实数x1,x2,y1,y2,使得x1a1+x2a2-y1b1-y2b2=0,所以x1a1+x2a2=y1b1+y2b2。
由a1,a2与b1,b2都线性无关可知:系数x1,x2不能全为零,y1,y2也不全为零(因为:如果x1,x2全零,则y1b1+y2b2=0,由b1,b2线性无关,y1=y2=0,这与x1,x2,y1,y2不全为零矛盾。同样地,y1,y2也不能全为零)。所以x1a1+x2a2=y1b1+y2b2≠0。
取向量m=x1a1+x2a2=y1b1+y2b2,则m≠0,且m可由a1,a2线性表示,又可由b1,b2线性表示。
由a1,a2与b1,b2都线性无关可知:系数x1,x2不能全为零,y1,y2也不全为零(因为:如果x1,x2全零,则y1b1+y2b2=0,由b1,b2线性无关,y1=y2=0,这与x1,x2,y1,y2不全为零矛盾。同样地,y1,y2也不能全为零)。所以x1a1+x2a2=y1b1+y2b2≠0。
取向量m=x1a1+x2a2=y1b1+y2b2,则m≠0,且m可由a1,a2线性表示,又可由b1,b2线性表示。
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