Question

高等数学线性代数问题

设a1，a2，b1，b2均为三维列向量，且a1，a2线性无关，b1，b2线性无关，证明：存在非零向量m，使得m即可由a1，a2线性表示，又可由b1，b2线性表示。

求详解，万分感谢！！！

Answer 1

四个向量都是三维列向量，所以四个向量组成的向量组a1,a2,a1,a2一定线性相关，所以存在不全为零的实数x1,x2,y1,y2，使得x1a1+x2a2-y1b1-y2b2=0，所以x1a1+x2a2=y1b1+y2b2。

由a1,a2与b1,b2都线性无关可知：系数x1,x2不能全为零，y1,y2也不全为零（因为：如果x1,x2全零，则y1b1+y2b2=0，由b1,b2线性无关，y1=y2=0，这与x1,x2,y1,y2不全为零矛盾。同样地，y1,y2也不能全为零）。所以x1a1+x2a2=y1b1+y2b2≠0。

取向量m=x1a1+x2a2=y1b1+y2b2，则m≠0，且m可由a1，a2线性表示，又可由b1，b2线性表示。

Answer 2

若b1或b2能被{a1,a2}线性表示，则 b1或b2本身就是m；
否则，{a1,a2,b1}线性无关，因为三维线性空间最多能找到三个线性无关向量，那么b2一定能被{a1,a2,b1}线性表示，那么b2就是m