Question

高中数学题目求详解

已知点M（3,1）直线ax-y+4=0及圆（x-1）^2+(y-2)^2=4

(1)求过M点的圆的切线方程

(2)若直线ax-y+4=0与圆相交于a的范围

(3)若ax-y+4=0与圆交于A、B两点 且|AB|=2倍根号3 求a的值

Answer 1

解：
(1).设过M点直线l:y-1=k(x-3)
整理得：l:kx-y-3k＋1=0
①k存在时
∵l与圆相切,圆心坐标为(1,2)
∴r=2=丨k*1-2-3k＋1丨/√(k^2＋1^2)
∴解得：k=3/4
∴l:3x-4y-5=0
②k不存在时
∵直线x=3与(1,2)距离为2(即为半径)
∴x=3符合题意
综上所述：l:3x-4y-5=0或x=3
(2).ax-y＋4=0恒过定点(0,4)
设j是过(0,4)的一条直线
思路：求j切圆时的斜率k(a=k)然后判断
∴r=2=丨a*1-2＋4丨/√(a^2＋1^2)
解得：a=0或4/3
∴画图可知a的取值范围是(-∞,0]∪[4/3,＋∞)
(3).过圆心(设圆心为C)C做CL⊥AB于L
∴LA=LB=√3
∵半径是2
∴由勾股定理可知：CL=1
即直线ax-y＋4=0与(1,2)点距离为1
①k(a)存在时
∴1=丨a*1-2＋4丨/√(a^2＋1^2)
解得：a=-3/4
②k(a)不存在时
∵x=0与(1,2)距离为1
但a在式子中为常数
∴不符题意
综上所述：a=-3/4

Answer 2

(1)设切线方程为 k(x-3)+(y-1)=0
（x-1）^2+(y-2)^2=4 圆心为（1,2）半径为2
由于是切线，圆心到直线的距离等于半径
|k(1-3)+(2-1)|/√(k^2+1)=2，解得k= -3/4 ?!
特别注意！！！这里很容易漏解，k应该有两个（因为肯定是两条切线！）另一个k=无穷大
切线方程为 3x-4y-5=0 以及 直线x=3
(2) 这一问可以参照(1)，方法如下（当然你也可以联立方程，解Δ>=0)
ax-y+4=0 过点(0,4) 斜率为a
由于相交，圆心到直线距离小于等于半径
|a-2+4|/√(a^2+1)<=2，解得a<=0或a>=4/3
(3)|AB|=2√3，则圆心到直线距离=√(2^2-√3^2)=1
即|a-2+4|/√(a^2+1)=1
解得a= -3/4 或者a（舍去）=负无穷大（还是要特别注意！！！）