Question

高数求渐近线

Answer 1

求曲线y=x+√(x²-x+1)的渐近线
解：由于x²-x+1=(x-1/2)²+3/4≧3/4>0对任何x都成立，故定义域为R.
由于x→+∞limy=x→+∞lim[x+√(x²-x+1)]=+∞；
x→-∞limy=x→-∞lim[x+√(x²-x+1)]=x→-∞lim{(x-1)/[x-√(x²-x+1)]}
=x→-∞lim{(1-1/x)/[1-√(1-1/x+1/x²)]}=+∞；
即x→∞limy=x→∞lim[x+√(x²-x+1)]=∞；故无水平渐近线。
无垂直渐近线。
由于x→+∞lim(y/x)=x→+∞lim[1+√(1-1/x+1/x²)]=2；
且x→+∞lim[y-2x]=x→+∞lim[√(x²-x+1)-x]=x→+∞lim[(-x+1)/[√(x²-x+1)+x]
=x→+∞lim{(-1+1/x)/[√(1-1/x+1/x²)+1/x]}=-1；
故有一条斜渐近线y=2x-1。

追问

x→-∞是应该有水平渐近线的

追答

我再仔细检查一下：
x→-∞limy=x→-∞lim[x+√(x²-x+1)]=x→-∞lim{(x-1)/[x-√(x²-x+1)]}

=x→-∞lim{(x-1)/[x-∣x∣√(1-1/x+1/x²)]}=x→-∞lim{(x-1)/[x+x√(1-1/x+1/x²)]}
【因为x<0，故∣x∣=-x】
=x→-∞lim(1-1/x)/[1+√(1-1/x+1/x²)]}=1/2
故有水平渐近线y=1/2.
你的直觉是正确的。
再用数字检查一下：
x=-5时，y=-5+√31=0,56776；
x=-10时，y=-10+√111=0.535653753；
x=-100时，y=-100+√10101=0.50373127；
x=1000时，y=-1000+√1001001=0.500375
故x→-∞时y→0.5=1/2是正确的。

Answer 2

解答见图，点击放大：