Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DC至点F，使EF=DE，连接BF，CD，AC

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DC至点F，使EF=DE，连接BF，CD，AC （1）求证：四边形ABFC是平行四边形（2）如果DE²=BE·CE，求证：四边形ABFC是矩形

Answer 1

（1）证明：∵DF⊥BC，DE = DF
∴BC垂直平分DF

∴DC = CF = AB∠DCB =∠FCB =∠ABC

/ a>∴AB平行CF

AB平行CF AB = CF。

（2）连接到BD。

DE：EC = 3:2 = BE：DE

另一个∵∠DEC =∠DEB = 90°

∴△DEC△BED类似
>

∴∠EDC =∠DBC

∴∠BDC =∠EDC +∠BDE =∠DBC +∠BDE = 90°

∴∠BAC =∠ BDC = 90°

∵的四边形ABFC平行四边形

∴四边形ABFC矩形。

Answer 2

证明：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵DE²=BE•CE
∴DE/BE=CE/DE
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE≌△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四边形ABFC是矩形．