Question

如何用matlab解Malthus模型并画图

题目要求：针对Malthus人口模型, 练习用美国人口统计数据估计模型中的参数
模型建立：记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x(t)是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)是为连续、可微函数。记初始时刻（t=0）的人口为x0。假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于r乘以x(t)。考虑t到t+t1时间内人口的增量，显然有
x(t+t1)-x(t)=rx(t)t1
令t1趋向于0，得到x(t)满足微分方程dx/dt=rx，x(0)=x0
有这个方程很容易解出x(t)=x0*e^rt…………（1）
r>0时（3）是表示人口箭杆指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。
参数估计：（1）式的参数r和x0可以用数据估计。为了利用简单的线性最小二乘法，将(3)式取对数，可得y=rt+a，y=lnx，a=lnx0

我的问题：如何编写matlab程序，拟合数据，得出r和x0的值？并画出指数增长模型拟合图形（有1790年至1900年的和1790年至2000年两个）。

1790-2000年美国实际人口数：（单位：亿）
1790年：3.9
1800年：5.3（以下依次以10年类推）
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4

如果满意会追加分数，谢谢！

Answer 1

clc;clear
t=1790:10:2000;
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4];
y=log(x);
p=polyfit(t,y,1)
r=p(1),x0=exp(p(2))
Y=polyval(p,t);
X=exp(Y);
%方法二，非线性回归
fun=inline('a(1)*exp(a(2)*t)','a','t')
format short g
a=nlinfit(t,x,fun,[1.7139e-010 0.02]);
X0=a(1),rr=a(2)
X1=a(1)*exp(a(2)*t);
plot(t,x,'o',t,X,t,X1)

结果：
p =

0.020219 -34.393

r =

0.020219

x0 =

1.1565e-015

X0 =

1.3155e-010

rr =

0.014223

从图形中可以看出，非线性方法效果更好。