Question

设函数f(x)=sinx+cosx和g(x)=2sinxcosx.若a为实数，求函数F(x)=f(x)+ag(x),x∈[0，π/2]的最小值

Answer 1

F(x)的最小值是1。

解：
1、对于f(x)=sinx+cosx
f²(x)=(sinx+cosx)²
=sin²x+2sinxcos+cos²x
=1+sin(2x)
因为：x∈[0，π/2]
所以：sin(2x)∈[0，1]
因此：1+sin(2x)∈[1，2]
即：f²(x)∈[1，2]
所以：f(x)min=1
2、对于g(x)=2sinxcosx
g(x)=sin(2x)
与上述理由相同，可知：g(x)∈[0，1]
由此得：g(x)min=0
因此：ag(x)min=0
对于F(x)=f(x)+ag(x)
F(x)min=f(x)min+ag(x)min=1+0=1
即：所求F(x)的最小值是1

Answer 2

解：令sinx+cosx=2sin(x+π/4)=t
∵0≤x≤π/2,π/4≤x+π/4≤3π/4,
∴-√2/2≤sin(x+π/4)≤1
即-√2≤t≤2
(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=t^2
2sinxcosx=t^2-1
F(x)=t+a(t^2-1)=at^2+t-a,-√2≤t≤2
讨论a取最值
当0＜a＜√2/2时-√2＜-1/a＜0,最小值h（a）=-a
当√2/2≤a＜2时-√2≤-1/a＜-1/2,最小值h（a）=a-√2
当a≥2时，-1/2≤-1/a＜0,最小值为h(a)=3a+2

Answer 3

这道题实际上考察的是3个式子的转化关系，设sinx+cosx为t，利用合一变换，再由x∈[0，π/2]，可以算出t的范围，因为（sinx+cosx）^2=1+2sinxcosx,即t^2=1+2sinx+cosx,算出g(x)=t^2-1,再列出F(x)的表达式，就转化成2次函数在t的范围内求最值问题，当然，由于a属于实数，所以a等于0也要考虑，具体过程自己算了才知道，注意点都提了，一个是t的范围，一个是a的值

Answer 4

这道题实际上考察的是3个式子的转化关系，设sinx+cosx为t，利用合一变换，再由x∈[0，π/2]，可以算出t的范围，因为（sinx+cosx）^2=1+2sinxcosx,即t^2=1+2sinx+cosx,算出g(x)=t^2-1,再列出F(x)的表达式，就转化成2次函数在t的范围内求最值问题，当然，由于a属于实数，所以a等于0也要考虑，具体过程自己算了才知道，注意点都提了，一个是t的范围，一个是a的值这是我辛辛苦苦一个字一个字打出来的，希望你自己做了之后，如果感觉是对的，那就采纳，不枉我们相识相知相............一场，(*^__^*) 嘻嘻……