Question

谢谢!!!过椭圆x^2/m+y^2/(m-1)=1(2<=m<=5)的左焦点且斜率为1的直线与椭圆及直线x=+-a(a>=3为常数），从左

过椭圆x^2/m+y^2/(m-1)=1(2<=m<=5)的左焦点且斜率为1的直线与椭圆及直线x=+-a(a>=3为常数），从左至右依次交于A,B,C,D四点，记f（m）=||AB|-|CD||求f（m）的表达式，2）求f（m）的最大值和最小值!!!

Answer 1

显然椭圆焦点在x轴上
易知半焦距c=√[m-(m-1)]=1
则左焦点坐标为(-1,0)
由点斜式易知过左焦点且斜率为1的直线方程为y=x+1
令直线y=x+1与椭圆交B(x1,y1)、C(x2,y2)
根据直线的特征易知B、C分布于x轴的上下两侧和左焦点的左右两侧
不妨令B(x1,y1)为x轴下方、左焦点左侧的交点
显然x1<0

因2≤m≤5
则长半轴长√2≤√m≤√5
而a≥3>√5
显然直线x=±a在椭圆之外
由此可知A为直线y=x+1与x=-a的交点，D为直线y=x+1与x=a的交点
联立两组直线方程易知A(-a,1-a)，D(a,1+a)

过A、B、C、D分别向x轴引垂线交于A1、B1、C1、D1
易知A1(-a,0)、B1(x1,0)、C1(x2,0)、D1(a,0)
且-a<x1<x2<a
显然|AB|=√2|A1B1|=√2(x1+a)，|CD|=√2|C1D1|=√2(a-x2)
考虑到|CD|>|AB|
则f(m)=√2(a-x2)-√2(x1+a)=-√2(x1+x2)

联立直线y=x+1与椭圆方程得(2m-1)x^2+2mx+(2m-m^2)=0
由韦达定理有x1+x2=-2m/(2m-1)
所以f(m)=2√2m/(2m-1)（2≤m≤5）
由复合法或导数法易知f(m)为减函数
所以f(m)max=f(2)=4√2/3，f(m)min=f(5)=10√2/9

Answer 2

(1) m>m-1，长轴在x轴上，c=√[m-(m-1)]=1

∵2≤m≤5，a≥3，∴√m<a

所以直线x=±a分别在椭圆与x轴交点的左右两侧

令左焦点为F，则

|AB|=|AF|-|BF|，|CD|=|FD|-|FC|

利用左焦点的极坐标方程rho=p/(1-e*cost)

其中p=(m-1)/√m，e=c/√m=1/√m

∵直线斜率为1，∴直线位于一、二、三象限，且与x轴所夹锐角为45°

当t=45°时

|FD|＝(a+c)/cos45°=√2*(a+1)

|FC|=[(m-1)/√m]/[1-1/√m*cos45°]=(m-1)/(√m-√2/2)

∴|CD|=√2*(a+1)-(m-1)/(√m-√2/2)

当t=225°时

|AF|＝(a-c)/cos45°=√2*(a-1)

|BF|=[(m-1)/√m]/[1-1/√m*cos225°]=(m-1)/(√m+√2/2)

∴|AB|=√2*(a-1)-(m-1)/(√m+√2/2)

f(m)=||AB|-|CD||=|√2*(m-1)/(m-1/2)-2√2|

=√2*|-m/(m-1/2)|

=√2*[1+1/(2*m-1)]

(2)∵2≤m≤5

当m=5时,f(m)最小值为f(5)=(10*√2)/9

当m=2时,f(m)最大值为f(2)=(4*√2)/3