Question

设函数f（x）=a/2x^2-1+cosx (a>0)

当a=1时，证明：函数y=f(x)在(0,+∝)上是单调增函数，

若y=f（x）在(0,正无穷）上是单调增函数 求正数a的取值范围？谢谢

Answer 1

若a=1,则f(x)=(1/2)x^2-1+cosx
所以f'(x)=x-sinx
要证f(x)在(0,+∝)上是单调增函数
只需证f'(x)=x-sinx在(0,+∝)上恒大于0
令g(x)=x-sinx，则g'(x)=1-cosx…………显然恒大于等于0
所以g(x)为增函数
g(0)=0-0=0,即g(x)=x-sinx在区间(0,+∝)恒大于0
所以f(x)=(1/2)x^2-1+cosx在(0,+∝)上是单调增函数

2）
若f(x)在(0,正无穷)上是单调增函数，则
f(x)'=ax-sinx>=0恒成立，
a>=sinx/x
又g（x）=sinx/x<=1
故：a>=1

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Answer 2

（1）证：若a=1,则f(x)=(1/2)x^2-1+cosx
∴f'(x)=x-sinx
f(x)在(0,+∝)上是单调增函数
<=f'(x)=x-sinx在(0,+∝)上恒大于0
∵令g(x)=x-sinx，则g'(x)=1-cosx≥0
∴g(x)=f'(x)为增函数
∵g(0)=0-0=0,即g(x)=x-sinx>0,(x∈(0,+∝)
所以f(x)=(1/2)x^2-1+cosx在(0,+∝)上是单调增函数
(2)若y=f（x）在(0,正无穷）上是单调增函数,
f'(x)=ax-sinx>0

=>a>(sinx)/x
∵(sinx)/x<1(x∈(0,+∝)

∴a≥1

Answer 3

您好！
(1)若a=1,则f(x)=(1/2)x^2-1+cosx
所以f'(x)=x-sinx
要证f(x)在(0,+∝)上是单调增函数
只需证f'(x)=x-sinx在(0,+∝)上恒大于0
令g(x)=x-sinx，则g'(x)=1-cosx…………显然恒大于等于0
所以g(x)为增函数
g(0)=0-0=0,即g(x)=x-sinx在区间(0,+∝)恒大于0
所以f(x)=(1/2)x^2-1+cosx在(0,+∝)上是单调增函数
(2)若f(x)在(0,+&)上是单调增函数，则
f(x)'=ax-sinx>=0恒成立，a>=sinx/x
又g（x）=sinx/x<=1
故：a>=1

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