Question

已知数列{An}满足A1=a，A（n+1） =1/（2-An） n属于正整数 （1）求A2、A3、A4 （2）猜测数列{An}的通项公

式，并用数学归纳法证明

Answer 1

(1)
A1=a
A2=1/(2-a)
A3=(2-a)/(3-2a)
A4=(3-2a)/(4-3a)

(2)
根据上面的规律猜测
An=[n-1-(n-2)a]/[n-(n-1)a] （*）

用数学归纳法：
n=1时，A1=a成立
设n=k时，（*）成立，即Ak=[k-1-(k-2)a]/[k-(k-1)a]
当n=k+1时
A(k+1)=1/(2-Ak)
=1/{2-[k-1-(k-2)a]/[k-(k-1)a]}
=1/[(k+1-ka)/[k-(k-1)a]
=[k-(k-1)a]/(k+1-ka)
满足（*）
因此，通项是An=[n-1-(n-2)a]/[n-(n-1)a]

如果认为讲解不够清楚，请追问。
祝：学习进步！

Answer 2

解：（1）A2= 1 / (2-a) A3= (2-a) / (3-2a) A4= (1-a) / a
(2) 猜测： An= [n-1-(n-2)·a] / [n-(n-1)a]
证明：①n=1时，左边=a =右边=a 成立
②假设n=k时，即 Ak=[k-1-(k-2)·a] / [k-(k-1)a] 成立
推 n=k+1 成立
左边=1/（2-Ak）=(k-ka+a) / (k-ka+1)
右边=(k-ka+a) / (k-ka+1)
左边=右边 成立 综上，猜想成立。