Question

已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b的两个根都大一，求a+b+c的值

初中知识

Answer 1

解：设方程x2+ax+b=0的两个根为α，β，
∵方程有整数根，
设其中α，β为整数，且α≤β，
则方程x2+cx+a=0的两根为α+1，β+1，
∴α+β=-a，（α+1）（β+1）=a，
两式相加，得αβ+2α+2β+1=0，
即（α+2）（β+2）=3，
∴α+2=1 β+2=3或α+2=-3 β+2=-1.
解得α=-1 β=1或α=-5 β=-3.
又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0，b=αβ=-1×1=-1，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2，
或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8，b=αβ=（-5）×（-3）=15，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6，
∴a=0，b=-1，c=-2；或者a=8，b=15，c=6，
∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29，
故a+b+c=-3，或29.

Answer 2

设方程x2+ax+b=0 的两个根是x1,x2 x1+x2=-a x1x2=b
方程x2+cx+a=0 的两个是x1+1,x2+1 x1+1+x2+1=-c x1x2+x1+x2+1=a
-a+2=-c b-a+1=a
a-c=2 b-2a=-1
二次方程x2+cx+a=0 的两个根为整数
所以△=c²-4a是个正数的平方
△=c²-4a=(a-4)²-12
满足条件的只有(a-4)²-12=4时成立
这时a=0或者a=8
当a=0时,b=-1,c=-2
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为2和0
x2+ax+b=0 的两个整数根为1和1
不合题意
当a=8时,b=15,c=6
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为-2和-4
x2+ax+b=0 的两个整数根为-3和-5
符合题意
a+b+c=8+15+6=29
所以a+b+c 的值 29

追问

△=c²-4a=(a-4)²-12
满足条件的只有(a-4)²-12=4时成立

这一步是为什么？貌似没有说a一定是正数吧，也可以等于9，16，25啊
而且这个答案也不是正确的，标准答案里有俩答案
这个答案真的是错的啊，标准答案里有两个答案啊

Answer 3

设x²+cx+a=0的两根为x1，x2
x1+x2=-c
x1*x2=a
则x²+ax+b=0的两根为：
(x1+1)+(x2+1)=-a
(x1+1)(x2+1)=b
可得 -c+2=-a
-c+a+1=b
得 b+2c=3
c=a+2
故 a+b+c=1

追问

不好意思。。这个答案不是正确的。。。