Question

函数y=x+（√1-x^2)的最大值和最小值

Answer 1

解：
这是该类型的唯一题目，也有相对应的方法
很明显x的取值范围是【-1,1】
于是务必联想到可以令x=sina,，-π/2≤a≤π/2
于是√1-x²=√1-sin²a=√cos²a=|cosa|
在-π/2≤a≤π/2，cosa>0,于是|cosa|=cosa
于是题目变成
求y=sina+cosa在区间-π/2≤a≤π/2上的最大值和最小值

y=sina+cosa
=√2【√2/2sina+√2/2cosa】
=√2【cosπ/4°sina+sinπ/4cosa】

=√2sin(a+π/4）
因为-π/2≤a≤π/2
所以-π/4≤a+π/4≤3π/4
于是y在-π/4≤a+π/4≤0上递增在0≤a+π/4≤π/2上递减，在π/2≤a+π/4≤3π/4上递增
于是最大值在a+π/4=π/2取得ymax=√2
最小值在a+π/4=-π/4取得ymin=√2sin-π/4=-1

用基本不等式
(a+b)/2≤√【（a²+b²）/2】
于是
y=x+（√1-x^2)≤2√【（x²+(1-x²）/2】=2√1/2=√2

当x=√1-x^2,也就是x=√2/2取等号
但此法只能求最大值

Answer 2

要求函数的最值，需要把函数化简，要把1-x^2开出来，我们需要把函数化为三角函数，设x=sint或cost.下面的做法与以上两位的回答相同。

函数的图像如下：

Answer 3

设x=cosm,m∈[0,π]
y=cosm+sinm
=√2sin(m+π/4)
最大值=√2
最小值=-1

追问

为什么要设x=cosx

Answer 4

令x=cosX，则y=cosx+sinx(注意X范围是0，π）则y=根号2sin(4/π+x)则范围是【-1，根2】

追问

为什么要设x=cosx

追答

因为根号下面1-x^2>=0,因此|x|<=1,cosx正好满足而且避免去根号讨论正负

追问

如果不换三角函数的话，能利用均值不等式或者求导求最值做吗

追答

求导肯定可以的，但麻烦一点