Question

Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°，AB=12,D为射线AB上动点,经过点C的圆C与直线AB相切于点D,交射线AC于点E 。

如图（2），当CD平分∠ACB时，求○O的半径。

Answer 1

已知：AB=12，BC=6，AC=6√3.

作线段FD，FD∥AC。

△BFD∽△CFD，x/AC=(6-X)/6,  x=3(3-√3).

CD=√(x²+x²)=√{2[3(3-√3)]²=√108(2-√3).

连接OC、OD，由于直线AB相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠ODB=∠ODA=90°。

在△ODC中，∠OCD=∠ODC=105°-90°=15°。

∴∠COD=180°-30°=150°。

根据余弦定理：CD²=CO²+DO²-2CD*DOcos150°（cos150°=-cos30°=-√3/2）

108(2-√3)=2CO²-2CO²(-√3/2)

108(2-√3)=2CO²+2CO²(√3/2)

108(2-√3)=2CO²(1+√3/2)

108(2-√3)=CO²(2+√3)

CO²=108(2-√3)/(2+√3)=108(2-√3)²

CO=6(2-√3)(√3)=6(2√3-3)

 

○O的半径=6(2√3-3)