Question

设a为实数，函数f(x)=x^3-ax^2+(a^2-1)x在（1,+∞）上是增函数，求a的取值范围

Answer 1

解：
f'(x)=3x^2-2ax+a^2-1
为二次函数，开口朝上，对称轴为x=a/3
∵f（x）在（1，+∞）为增函数，
∴x>1时 ，f'(x)≥0恒成立

当对称轴x=a/3不在(1.+∞)内
即a/3≤1,a≤3时，
需f'(1)=a²-2a+2≥0,恒成立
∴ a≤3均符合题意

当对称轴x=a/3在(1.+∞)内
即a>3时，
需△=4a^2-4×3×（a^2-1）≤0
化简 8a^2＞12， a^23/2
解得a＜-√6/2或a＞√6/2
∴a>3均符合题意

∴a的取值范围为(-∞，+∞）

Answer 2

解：f'（x）=3x^2-2ax+a^2-1
∵f（x）在（1，+∞）为增函数，∴导函数恒为正
即△=4a^2-4×3×（a^2-1）＜0
4a^2-12a^2+12＜0
8a^2＞12
a^2＞3/2
解得a＜-√6/2或a＞√6/2
∴a的取值范围为(-∞，-√6/2)∪（√6/2，+∞）
不懂，请追问，祝愉快O(∩_∩)O~

Answer 3

设a为实数，函数f(x)=x^3-ax^2+(a^2-1)x在（1,+∞）上是增函数，求a的取值范围
方法1
解析：∵函数f(x)=x^3-ax^2+(a^2-1)x在（1,+∞）上是增函数
令f’(x)=3x^2-2ax+(a^2-1)=0==>x1=[a-√(3-2a^2)]/3，x2=[a+√(3-2a^2)]/3
f’’(x)=6x-2a==>f”(x1)<0, f”(x2)>0
∴f(x)在x1处取极大值；在x2处取极小值；
令[a+√(3-2a^2)]/3<=1==>-√6/2<=a<=√6/2

⊿=4a^2-12(a^2-1)=12-8a^2<0==>a<-√6/2或a>√6/2
当a<-√6/2或a>√6/2时，f’(x)>0,f(x)单调增
综上：当a∈R时，均满足f(x)在（1,+∞）上是增函数

方法2
解析：f'(x)=3x^2-2ax+a^2-1为二次函数，开口朝上，对称轴为x=a/3
即f'(x)在x=a/3处取极小值
∵要满足f（x）在（1，+∞）为增函数，只要f'(1)=a^2-2a+2>=0
∵⊿=4-8<0
∴a∈R均满足f'(1)=a^2-2a+2>=0
∴a的取值范围为R

Answer 4

根据x=负2a分之b得a<3