Question

已知f(x)=x^3+bx^2+cx+d（b,c,d∈R且都为常数）的导函数f'(x)=3x^2+4x且f（1）=7,设F(x）=f(x)-ax^2

1) 当a<2时，F（x)的极小值2）若对任意x∈【0，﹢∞）都有F（x）≥0成立，求a的取值范围 （高手帮个忙，急啊。。 要具体过程！）

Answer 1

（1）对f(x)=x^3+bx^2+cx+d求导得：f'(x)=3x^2+2bx+c又f'(x)=3x^2+4x 得到b=2，c=0又f（1）=7, 即7=1^3+2*1^2+d 得d=4所以：f(x)=x^3+2x^2+4则F(x）=f(x)-ax^2=x^3+2x^2+4-ax^2=x^3+（2-a）x^2+4求导计算再画图像易得极小值=F(0）=0（就是上述方法）（2）直接求解是行不通的。当X=0，4≥0，a属于实数当X>0，用分离变量(注意此方法两边相除时要大于0，这是用该方法的关键）x^3+（2-a）x^2+4≥0即a-2<=X+4/X^2所以（X+4/X^2）最小值≥a-2令Y=X+4/X^2求导得Y'=1-8/X^3当0<X<2,Y'<0,函数Y递减当X>2,Y'>0,函数Y递增所以 当X=2，Y取最小值为3所以3≥a-2a小于等于5

Answer 2

由求导函数的法则 对f(x)=x^3+bx^2+cx+d求导得：f'(x)=3x^2+2bx+c 对照已知的导函数f'(x)=3x^2+4x 可得到b=2，c=0 则f(x)=x^3+2x^2+d 又f（1）=7, 即7=1^3+2*1^2+d 得d=4所以：f(x)=x^3+2x^2+4 则F(x）=f(x)-ax^2=x^3+2x^2+4-ax^2=x^3+（2-a）x^2+4(1)当a<2时,求导得F'(x)=3x^2+(4-2a)x 令F'(x)=0得x1=0，x2=（2a-4）/3 。且x2<X1(a<2.2a-4<0)然后求 （负无穷大，x2），（x2，0），（0 正无穷大）这3个区间上的导数的正负号 判断极小值得极小值=F(0）=0（2）F(x）=x^3+（2-a）x^2+4≥0 解不等式方程就可以了 得 a小于等于6