Question

高一数学数列问题，求高手解答。

Answer 1

解：
1.
a(n+1)=(1+ 1/n)an +(n+1)/2ⁿ=[(n+1)/n]an +(n+1)/2ⁿ
等式两边同除以n+1
a(n+1)/(n+1)=an/n +1/2ⁿ
a(n+1)/(n+1)- an/n=1/2ⁿ
an/n -a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
a(n-1)/(n-1)-a(n-2)/(n-2)=1/2^(n-2)
…………
a2/2 -a1/1=1/2
累加
an/n -a1/1=1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)=(1/2)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)=1-1/2^(n-1)
an/n=a1+1 -1/2^(n-1)=2 -1/2^(n-1)
bn=an/n
bn=2- 1/2^(n-1)
数列{bn}的通项公式为bn=2- 1/2^(n-1)
2.
an/n=2 -1/2^(n-1)
an=2n -n/2^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an
=2×(1+2+...+n) -[1/1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)]
令Cn=1/1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)
则Cn/2=1/2+2/2²+...+(n-1)/2^(n-1)+ n/2ⁿ
Cn-Cn/2=Cn/2=1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-1) -n/2ⁿ=1×(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2ⁿ=2-(n+2)/2ⁿ
Cn=4-(n+2)/2^(n-1)
Sn=2×(1+2+...+n)-Cn
=2n(n+1)/2 -4 +(n+2)/2^(n-1)
=n²+n -4 +(n+2)/2^(n-1)

Answer 2

解：（1）由已知得b1=a1=1，且an+1n+1=ann+12n，
即bn+1=bn+12n，从而b2=b1+12，
b3=b2+122，
bn=bn-1+12n-1（n≥2）．
于是bn=b1+12+122+…+12n-1=2-12n-1（n≥2）．
又b1=1，
故所求的通项公式为bn=2-12n-1．
（2）由（1）知an=2n-n2n-1，
故Sn=（2+4++2n）-（1+22+322+423+…+n2n-1），
设Tn=1+221+322+423+…+n2n-1，①
12Tn=12+222+323+…+n-12n-1+n2n，②
①-②得，
12Tn=1+12+122+123+…+12n-1-n2n
=1-
12n1-
12-n2n=2-22n-n2n，
∴Tn=4-n+22n-1．
∴Sn=n（n+1）+n+22n-1-4

望采纳！！！！！！！！！！！！

Answer 3

解：①原等式两边同除以（n+1）得：
〔a（n+1）/n+1〕-an/n＝1/2∧n
即b（n+1）-bn＝1/2∧n
将n换成n-1,n-2……,1，累加得：b（n+1）-b1＝（1-1/2∧n）/1-1/2
即b（n+1）-b1＝1-1/2∧n
又b1＝a1/1＝1
所以b（n+1）＝2-1/2∧n
bn＝2-1/2∧（n-1）（n≥2）
综上所述bn＝｛1（n＝1）
2-1/2∧（n-1）（n≥2）
②由①可得an＝｛1（n＝1）
2n-n/2∧（n-1）（n≥2）
所以Sn1＝2/2∧（2-1）+3/2∧（3-1）+…+n/2∧（n-1）①
（1/2）Sn1＝2/2（3-1）+3/2（4-1）+…+n/2∧n②
①-②得：Sn1＝1-（2+n）/2∧（n-1）
Sn2＝（n-1）（2n+2）/2+1＝n∧2
所以Sn＝｛1（n＝1）
n∧2+（2+n）/2∧（n-1）-1（n≥2）