Question

高三数学数列问题

Answer 1

解：
n=1时，1/S1=1/a1=1/(1+1)=1/2
a1=2
n≥2时，
1/S1+1/S2+...+1/Sn=n/(n+1) (1)
1/S1+1/S2+...+1/S(n-1)=(n-1)/n (2)
(1)-(2)
1/Sn=n/(n+1)- (n-1)/n=[n²-(n+1)(n-1)]/[n(n+1)]=(n²-n²+1)/[n(n+1)]=1/(n²+n)
Sn=n²+n
S(n-1)=(n-1)²+(n-1)
an=Sn-S(n-1)=n²+n-(n-1)²-(n-1)=2n
n=1时，a1=2，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2n
bn=(1/2)^(an)=(1/2)(2n)=1/4ⁿ
b1=1/4 b(n+1)/bn=(1/4)^(n+1)/(1/4ⁿ)=1/4
数列{bn}是以1/4为首项，1/4为公比的等比数列。
b1+b2+...+bn=(1/4)(1-1/4ⁿ)/(1-1/4)=(1/3)(1-1/4ⁿ)
n≥1，0<1/4ⁿ≤1/4 3/4≤1-1/4ⁿ<1 1/4≤(1/3)(1-1/4ⁿ)<1/3
1/m<1/4 m²-6m +16/3≥1/3
1/m<1/4 m<0或m>4
m²-6m +16/3≥1/3
m²-6m +5≥0
(m-5)(m-1)≥0
m≥5或m≤1

综上，得m<0或m≥5

追问

求出值域后，为什么1/m<1/4 m²-6m +16/3≥1/3？

追答

要b1+b2+...+bn在题目给出的区间上，则给出的区间应不小于求出的b1+b2+...+bn的值域。