Question

高中数学求证

2题- -

1）在△ABC中，求证 tan(A/2)×tan(B/2) +tan(B/2)×tan(C/2) +tan(C/2)×tan(A/2)=1

2）已知sinα=asinβ ，bsinα=acosβ，而α、β为锐角。求证 cosα=√（a²﹣1) ／√(b²－1）

Answer 1

1.A/2=(180-B-C)/2=90-(B+C)/2
所以tan(A/2)=tan[90-(B+C)/2]
=cot(B/2+C/2)
=1/tan(B/2+C/2)
=1/{[tan(B/2)+tan(C/2)]/[1-tan(B/2)tan(C/2)]}
=[1-tan(B/2)tan(C/2)]/[tan(B/2)+tan(C/2)]
所以左边=tan(A/2)[tan(B/2)+tan(C/2)]+tan(B/2)tan(C/2)
=[1-tan(B/2)tan(C/2)]/[tan(B/2)+tan(C/2)]*[tan(B/2)+tan(C/2)]+tan(B/2)tan(C/2)
=1-tan(B/2)tan(C/2)+tan(B/2)tan(C/2)
=1=右边

2.证明：
sinα=asinβ,bcosα=acosβ,
(sinα)^2=a^2(sinβ)^2,
b^2(cosα)^2=a^2(cosβ)^2
两式相加，
1-(cosα)^2+b^2(coaα)^2=a^2
(cosα)^2=(a^2-1)/(b^2-1) (b^2-1≠0)
α是锐角，
cosα=√(a^2-1)/(b^2-1)