Question

在各项为正的数列{an}中，前n项和Sn满足Sn=1/2（an+1/an)

1.求an通项公式
2.用数学归纳法证明你的结论

Answer 1

直接代入取正，解得：a2=√2-1，a3=√3-√2，因此推测通项公式为an=√n -√(n-1)
数归解法：
当n=1时，an=1=√1-√(1-1)，显然成立。
假设n=k时成立，即ak=√k -√(k-1)
即Sk=(√1-√0)+(√2-√1)+(√3-√2)+…+(√k-√k-1)=√k
那么，当n=k+1时由Sn=1/2(an+1/an)，得Sk+1=1/2(ak+1+1/ak+1)，即ak+1=Sk+1-Sk=1/2(ak+1+1/ak+1)-√k解出ak+1=√(k+1)-√k
因此原命题成立。
非数归解法：
sn=1/2(an+1/an)
2sn=sn-s(n-1)+1/[sn-s(n-1)]
sn+s(n-1)=1/[sn-s(n-1)]
[sn]^2-[s(n-1)]^2=1
所以[(sn)^2]为等差数列
所以(sn)^2=(n-1)+(s1)^2=n
所以sn=√n
所以an=√n-√(n-1)

Answer 2

应该是的吧