Question

已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点M为⊙O上一点，且在弦BC下方

如图，若∠ABC=45°，BM=1，CM=3，求AM的长

Answer 1

图中的N应该是C。
∵BC是⊙O的直径，∴BM⊥CM，
∴由勾股定理，有：BC^2＝BM^2＋CM^2＝1＋9＝10，∴BC＝√10。
∵AB＝AC、∠ABC＝45°，∴AB＝AC＝BC/√2＝√10/√2＝√5。
由托勒密定理，有：BC×AM＝AB×CM＋AC×BM，∴√10AM＝3√5＋√5，∴AM＝4/√2＝2√2。

追问

有没有不用托勒密定理的方法，我还没学……

追答

延长BC至D，使CD＝BM。
∵ABMC是⊙O的内接四边形，∴∠ACD＝∠ABM，又AC＝AB、CD＝BM，
∴△ACD≌△ABM，∴AD＝AM、∠CAD＝∠BAM。

∵BC是⊙O的直径，∴∠BMC＝90°。
∴∠MAD＝∠MAC＋∠CAD＝∠MAC＋∠BAM＝∠BAC＝90°，而AD＝AM，
∴AM＝MD/√2＝（MC＋CD）/√2＝（MC＋BM）/√2＝（3＋1）/√2＝2√2。

Answer 2

https://gss0.baidu.com/9fo3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=e0a7e24b63d0f703e6e79dda38ca7d05/d833c895d143ad4bbba7f29c83025aafa50f06e4.jpg

Answer 3

将△ABM旋转到△ANM`就很明白了。

追问

可以详细一点吗?

追答

旋转之后就会AMM`是等腰直角三角形，MM'=4，AM=2根号2了