Question

一道椭圆题。。。

Answer 1

解：

（1）P，Q的横坐标为x=-c

于是代进去椭圆方程x²/a²+y²/b²=1即

c²/a²+y²/b²=1

整理就是

y²=b²（1-c²/a²）=b²（a²-c²）/a²=b²×b²/a²=b^4/a²

于是解得

y=±b²/a

于是PQ=2|b²/a|=2b²/a=4/√3

也就是       b²=2a/√3                     ①

还有对于△F1MF2的底恒为F1F2=2c,只有当高最大，面积才最大

也就是高等于b的时候面积就最大

于是

2c×b÷2=√2

于是就有cb=√2              ②

还有a²=b²+c²                ③

联立①②③解得

a=√3，b=√2，c=1

【实不相瞒，那方程还真不好解，于是我看见cb=√2，于是邪心一起，就试试的心态，让b=√2,c=1，结果成功了】

于是

a²=3，b²=2

椭圆方程为

x²/3+y²/2=1

(2)对于|AB|∈【4，√19】

当AB=4从下图知道直线AB倾斜角=90°

当AB=√19从下图知道直线AB倾斜角=30°

于是题目就变成

求对于过F1的直线与椭圆相交于PQ两点，求△F2PQ面积的范围，其中倾斜角范围为【30°，90°】

那就设直线PQ为my=（x+1),1/tan90°≤m≤1/tan30°即0≤m≤√3

还有

于是S△F2PQ=|y1-y2|=√【（y1+y2）²-4y1y2】               @

于是联立my=（x+1)和x²/3+y²/2=1消去x，化简就得

(2m²+3)y²-4my-4=0

根据韦达定理

就有

y1+y2=4m/(2m²+3）

y1y2=-4/(2m²+3）

都代进去@就得

S△F2PQ=√【（y1+y2）²-4y1y2】

               =√【16m²/(2m²+3）²+16/(2m²+3）】

              =4/√(2m²+3)

也就是对于0≤m≤√3求4/√(2m²+3)的范围

显然S=4/√(2m²+3)是递减函数

于是当m=0,S 最大=4/√3

当m=√3,S 最小=4/√(6+3)=4/3

也就是4/√3≤4/√(2m²+3)≤4/√3

即4/√3≤S≤4/√3

于是△F2PQ面积的取值范围是

【4/√3，4/√3】

追问

你最后的答案好像出了点状况。。

追答

希望指出，让我能以最快速的解答

追问

呃。算了算了。我题目都没看过。
可你的答案也太奇葩了。一个常数嘛

追答

也就是4/√3≤4/√(2m²+3)≤4/3
即4/√3≤S≤4/3
于是△F2PQ面积的取值范围是
【4/√3，4/3】
收到，受益匪浅

Answer 2

这种题目不给200分人家总不会答。

Answer 3

不想算了。。