Question

高数极限问题，麻烦过程写详细点，谢谢

Answer 1

这是0/0型，ln(1+2x)~2x,x->0，用罗比达法则，
所以原极限=lim(x->0)[(1+x)^(2/x)-e²]/(2x)=1/2lim(x->0)(1+x)^(2/x)*[(-2/x²)*ln(1+x)+2/x*1/(1+x)]
=1/2lim(x->0)(1+x)^(2/x)*[-2ln(1+x)/x²+2/(x+x²)]
因为lim(x->0)[-2ln(1+x)/x²+2/(x+x²)]=lim(x->0)[2x²-2(x+x²)ln(1+x)]/(x³+x^4)
由泰勒展开式，ln(1+x)=x-1/2x²+o(x²)，
所以(x+x²)ln(1+x)=(x+x²)[x-1/2x²+o(x²)]=x²-1/2x³+o(x³)+x³-1/2*x^4+o(x^4)=x²+1/2x³+o(x³)，
所以2x²-2(x+x²)ln(1+x)=-x³+o(x³)，故lim(x->0)[2x²-2(x+x²)ln(1+x)]/(x³+x^4)=-1
因而原极限=1/2*e²*(-1)=-e²/2

Answer 2