Question

一道平面几何题

平行四边形ABCD中 ∠A为锐角 T为BC上一点 满足△ATD为锐角三角形 设△ABT △ATD △DTC外心分别为M N P 求证 △MNP的垂心在AD 上

Answer 1

先证明一个引理.

如图, D是直线BC上一点, ⊙M与⊙N分别为△ABD与△ACD的外接圆.

作MP // AC交BC于P, 连NP, 则有NP // AB.

证明: 连AM, DM, AN, DN, MN.

∵∠AND与∠ACD是⊙N中同弧所对的圆心角和圆周角,

∴∠AND = 2∠ACD.

同理, 在⊙M中可得∠AMD = 2∠ABD.

∵MD = MA, ND = NA, AD = AD,

∴△MDN ≌ △MAN (SSS).

∴∠DNM = ∠ANM = ∠AND/2 = ∠ACD, ∠DMN = ∠AMN = ∠AMD/2 = ∠ABD.

又∵MP // AC,

∴∠MPB = ∠ACD = ∠DNM,

∴M, P, D, N四点共圆 (一个外角等于内对角的四边形是圆内接四边形).

于是有∠DPN = ∠DMN = ∠ABD, 故NP//AB.

引理证毕.

原题证明: 过P作AT的平行线, 分别交AD, BC于H, G, 连NH.

将△ABT连同其外心N按向量AD平移得到△DCT'及其外心N', 连NN'.

连GN'并延长交AD延长线于H'.

∵P为△DTC外心, N'为△DT'C外心, PG // AT // DT',

∴由引理得N'G // DT, 故DTGH'是平行四边形, DH' = TG.

又∵HG // AT // DT', 

∴ATGH是平行四边形, TG = AH,

∴HH' = HD+DH' = HD+AH = AD = NN'且HH' // NN' (N'由N按向量AD平移得到).

于是HH'N'N为平行四边形, 有NH // N'N // DT.

至此我们有PH // AT, NH // DT.

∵M, N分别为△ADT与△ABT的外心,

∴MN垂直平分AT.

又∵PH // AT,

∴PH ⊥ MN.

∵M, P分别为△ADT与△CDT的外心,

∴MP垂直平分DT.

又∵NH // DT,

∴NH ⊥ MP.

于是H为△MNP两条高线的交点, 即垂心.

由H是AD上的点, 即得△MNP的垂心在AD上.

Answer 2

，留个记号，我会回来的