一道平面几何题
先证明一个引理.
如图, D是直线BC上一点, ⊙M与⊙N分别为△ABD与△ACD的外接圆.
作MP // AC交BC于P, 连NP, 则有NP // AB.
证明: 连AM, DM, AN, DN, MN.
∵∠AND与∠ACD是⊙N中同弧所对的圆心角和圆周角,
∴∠AND = 2∠ACD.
同理, 在⊙M中可得∠AMD = 2∠ABD.
∵MD = MA, ND = NA, AD = AD,
∴△MDN ≌ △MAN (SSS).
∴∠DNM = ∠ANM = ∠AND/2 = ∠ACD, ∠DMN = ∠AMN = ∠AMD/2 = ∠ABD.
又∵MP // AC,
∴∠MPB = ∠ACD = ∠DNM,
∴M, P, D, N四点共圆 (一个外角等于内对角的四边形是圆内接四边形).
于是有∠DPN = ∠DMN = ∠ABD, 故NP//AB.
引理证毕.
原题证明: 过P作AT的平行线, 分别交AD, BC于H, G, 连NH.
将△ABT连同其外心N按向量AD平移得到△DCT'及其外心N', 连NN'.
连GN'并延长交AD延长线于H'.
∵P为△DTC外心, N'为△DT'C外心, PG // AT // DT',
∴由引理得N'G // DT, 故DTGH'是平行四边形, DH' = TG.
又∵HG // AT // DT',
∴ATGH是平行四边形, TG = AH,
∴HH' = HD+DH' = HD+AH = AD = NN'且HH' // NN' (N'由N按向量AD平移得到).
于是HH'N'N为平行四边形, 有NH // N'N // DT.
至此我们有PH // AT, NH // DT.
∵M, N分别为△ADT与△ABT的外心,
∴MN垂直平分AT.
又∵PH // AT,
∴PH ⊥ MN.
∵M, P分别为△ADT与△CDT的外心,
∴MP垂直平分DT.
又∵NH // DT,
∴NH ⊥ MP.
于是H为△MNP两条高线的交点, 即垂心.
由H是AD上的点, 即得△MNP的垂心在AD上.
