Question

一道高中数学联赛平面几何练习题

三角形ABC内心为I，内切圆与AB、AC分别切于MN，BI、CI延长线交MN于K、L。求证：三角形ILK的外接圆与圆I相切的充要条件是AB+AC=3BC；

另外，请各位前辈、高手为我指点一下，怎样才能做到联赛成功，我有志在联赛中取得较好成绩，甚至冲击一下CMO；晚辈不胜感激！

Answer 1

首先证明三角形BMK,LNC,IKL,BIC四个三角形相似，（三个角都是B/2,C/2,90+A/2)
则r=KL/[2sin(LIK/2)]=KL/[2sin(90+A/2)]=KL/[2cos(A/2)]
R=MN/[2cosIMN]=MN/[2cos(A/2)]
要相切必须R=2r
所以MN=2KL
MN=2R/cos(A/2),KL=R/cos(A/2)
设a=KL/BC
BC=BM+CN=Rcot(B/2)+Rcot(C/2)=Rcos(A/2)/[sin(B/2)sin(C/2)]
a=sin(B/2)sin(C/2)/[cos(A/2)^2]
第一个关系式：3KL=MK+LN (看到3就激动了）
=BMsin(B/2)/sin(C/2)+CNsin(C/2)/sin(B/2)
代入KL,BM,CN，稍稍化简得到
(sinB+sinC)/[2sin(B/2)sin(C/2)]=3/cos(A/2)
由于sinB+sinC=2sin(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)=2cos(A/2)cos(B/2-C/2)
所以cos(B/2-C/2)=3sin(B/2)sin(C/2)/[cos(A/2)^2]=3a
第二个关系式：MK/CN=BK/CL
MK=BMsin(B/2)/sin(C/2)
BK=BI+aCI BI=R/sin(B/2) CI=R/sin(C/2)
CL=CI+aBI
代入化简得1/[2sinB]+asin(C/2)cos(B/2)=1/[2sinC]+asin(B/2)cos(C/2)
1/2*(sinB-sinC)=sin(B/2-C/2)cos(B/2+C/2)=sin(B/2-C/2)sin(A/2)=asin(B/2-C/2)
所以sin(A/2)=a
最后LK=aBC
MN=2aBC=2sin(A/2)*BC
而MN=2AM*sin(A/2)
于是AM=BC
所以AB+AC=2AM+BC=3BC

Answer 2

中等数学第三届陈省身杯夏令营的时候黄老师讲过 注意一下条件的使用就OK了
关键点在于正弦定理 在三角形ILK和三角形LKD（D为BC中点）
注意BCKL四点共圆再配合条件求出内切圆半径和BC的关系就可以了

Answer 3

bc=bm+nc,