Question

设非零向量e1,e2,e3中的任意两个都不共线。

（1）证明：当k1e1+k2e2=0时，k1=k2=0，反之也成立
（2）若e1+e2与e3共线，e2+e3与e1共线，求e1+e2+e3

Answer 1

（1）反证法，假设 k1 ≠ 0 ，则由 k1e1+k2e2=0 得 e1= -k2/k1*e2 ，
这说明 e1 、e2 共线，与已知矛盾，因此 k1=0 。同理可证 k2=0 。
反之，若 k1=k2=0 ，显然有 k1e1+k2e2=0 。
（2）因为 e1+e2 与 e3 共线，因此存在实数 x 使 e1+e2=xe3 ，
因此得 e1+e2+e3=(x+1)e3 ；----------------①
同理，存在实数 y 使 e2+e3=ye1 ，因此 e1+e2+e3=(y+1)e1 ，---------------②
由以上两式可得 (x+1)e3=(y+1)e1 ，
由（1）得 x+1=y+1=0 ，
所以 e1+e2+e3=0 （向量）。