Question

已知函数f(x)=(m-3)x^3+9x,若函数f(x)在区间(-∞,+∞)是单调增函数，求m取值范围

若函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为4，求m的值
详解

Answer 1

因为函数f(x)在区间(-∞,+∞)是单调增函数
所以在x∈(-∞,+∞)时，f'（x）=3（m-3）x^2+9>0要恒成立
所以只要满足m-3>0即m>3

f'（x）=3（m-3）x^2+9
f'（1）=3m，f'（2）=12m-27
①当m>27/12时，f'（1）>0，f'（2）>0即函数在区间[1,2]为单调增函数，
所以此时最大值为f(2)=（m-3）*8+18=4，得出m=5/4不满足条件
②当m<0时，f'（1）<0，f'（2）<0即函数在区间[1,2]为单调减函数，
所以此时最大值为f(1)=m-3+9=4，得出m=-2满足条件
③当0<m<27/12时，f'（1）>0，f'（2）<0，又f'（x）=3（m-3）x^2+9为一元二次方程
所以原函数在区间[1,2]为先增后减，即当x在f'（x）=3（m-3）x^2+9=0时，原函数取得最大值
解出m=-15/4不满足条件
综上所述，m=-2