Question

在三角形ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=(3a-c)cosB

(1)求cosB；(2)若向量BC•向量BA=4，b=4倍根号2，求边a，c的值
(2)若向量BC乘向量BA=4，b=4倍根号2，求边a，c的值

Answer 1

1.
bcosC=(3a-c)cosB
由正弦定理得：a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC。
sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC
3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA
所以，cosB=1/3
2.
若向量BC•向量BA=4，b=4√2
a*c*cosB=4
ac=12
由余弦定理得：b^2=32=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-8
a^2+c^2=40
(a+c)^2=a^2+c^2+2ac=40+24=64
a+c=8
a=2
c=6
或a=6
c=2
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Answer 2

bcosC=(3a-c)cosB
sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB
sinBcosC=3sinAcosB -sinCcosB
sin(B+C)=3sinAcosB
sinA=3sinAcosB
sinA不为0
3cosB＝1
cosB＝1/3
向量BC•向量BA=accosB=4
2accosB=8
ac=12
b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-8=32
a^2+c^2=40,ac=12
(a+c)^2-2ac=40
a+c=8,ac=12
解得a＝2，c=6或a＝6，c=2