三角形ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则角C的大小是？
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2013-04-05 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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解：两边平方
(3sinA＋4cosB)^2＝36
得9sin^2A +16cos^2B +24sinAcosB=36 ①
(4sinB＋3cosA)^2＝1
得16sin^2B +9cos^2A +24sinBcosA=1 ②
①+ ② 得：
（9sin^2A +9cos^2A） +（16cos^2B+ 16sin^2B） +24sinAcosB+24sinBcosA=37
即 9+16+24sin(A+B)=37
∴sin(A+B)=1/2,
∴A+B=5π／6 或者π/6
（1）若A+B=π／6，则cosA>cosπ/6=√3/2
3cosA>3√3/2>1 ，则4sinB＋3cosA>1 与3cosA+4sinB=1矛盾
∴A+B=5π／6
∵A+B+C=180
∴ C=π/6
(3sinA＋4cosB)^2＝36
得9sin^2A +16cos^2B +24sinAcosB=36 ①
(4sinB＋3cosA)^2＝1
得16sin^2B +9cos^2A +24sinBcosA=1 ②
①+ ② 得：
（9sin^2A +9cos^2A） +（16cos^2B+ 16sin^2B） +24sinAcosB+24sinBcosA=37
即 9+16+24sin(A+B)=37
∴sin(A+B)=1/2,
∴A+B=5π／6 或者π/6
（1）若A+B=π／6，则cosA>cosπ/6=√3/2
3cosA>3√3/2>1 ，则4sinB＋3cosA>1 与3cosA+4sinB=1矛盾
∴A+B=5π／6
∵A+B+C=180
∴ C=π/6
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