Question

高一数学。在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，其中……

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，其中边c最长，并且sin²A+sin²B=1.

（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）当c=1时，求△ABC的面积的最大值。

Answer 1

(1)∵sin²A＋sin²B＝1；sin²A＋cos²A=1
∴sin²B=cos²A
∴sinB=cosA 或 sinB=-cosA
∴∠A+∠B=90° 或 |∠A-∠B|=90°(舍，∵c边最长)
∴三角形ABC为直角三角形
(2)∵三角形ABC为直角三角形
∴a²＋b²=c²=1
∴S=1/2·a·b≤1/2·1/2·√(a²＋b²)=1/4
当且仅当a=b=√2/2时，S取得最大值1/4.

Answer 2

∵sin²A＋sin²B＝1=sin²A＋cos²A
∴sin²B=cos²A
∴sinB=cosA 或 sinB=-cosA
∴∠A+∠B=90° 或 |∠A-∠B|=90°(舍，∵c边最长)
∴三角形ABC为直角三角形.
(2) 当c＝1时，求三角形ABC面积的最大值
∵三角形ABC为直角三角形
∴a²＋b²=c²=1
∴S=1/2·a·b≤1/2·1/2·√(a²＋b²)=1/4当且仅当a=b=√2/2是，S取得最大值1/4

Answer 3

12131213123123