Question

已知函数f(x)=(1/2)x^2+lnx.

已知函数f(x)=(1/2)x^2+lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间
(2)求证：当x>1时，(1/2)x^2+lnx<2/3x^3
第二小题请写一下过程，谢谢

Answer 1

解：函数定义域为 x∈(0，+∞)
(1) f′(x) = x + 1/x = (x^2 + 1)/x ＞ 0，故f(x) 在(0，+∞)单调递增；
(2) 整理不等式 f(x) - 2/3x^3 < 0
令k(x) = f(x) - 2/3x^3 ，k′(x) = x + 1/x - 2x^2 = ( - 2x^3 + x^2 + 1)/x
令h(x) = - 2x^3 + x^2 + 1，h′(x) = - 6x^2 + 2x = -2 x (3x - 1)
当x> 1，h′(x) < 0，h(x)在(1，+∞)上递减 ，hmax < h(1) = 0
所以h(x)在(1，+∞) < 0，即 k′(x)在(1，+∞) < 0,
所以k(x)在(1，+∞)递减, 所以kmax < k(1) = 1/2 - 2/3 < 0
所以k(x)在(1，+∞)恒小于0
即f(x) - 2/3x^3< 0 ,即 (1/2)x^2+lnx <2/3x^3 , x ∈(1，+∞)

Answer 2

思路：构造函数即可。
解：令y=(1/2)x^2+lnx-2/3x^3
则y'=x+1/x-2x^2=(x^2+1-2x^3)/x
当x>1不难知道y'<0
故该函数在x>1时为减函数。
则当x>1时，y<f(1)=-1/6<0
即(1/2)x^2+lnx<2/3x^3 得证

Answer 3