Question

微分方程绝对值问题 请教大家 谢谢

第一道绝对值怎么没了或者说第二道怎么去的绝对值

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Answer 1

这两处大概是一样的问题, e^(∫ tan(x)dx)到底应该是多少.
按照积分公式严格的写出来会是C/|cos(x)|, 但是解答中都处理成了1/cos(x).
其实这是没有影响的.

回顾一阶线性微分方程的解法, y'+P(x)y = Q(x).
要先求一个g(x)使得乘以g(x)后左边能够配成(g(x)y)'.
为此去解可分离变量的方程g'(x) = P(x)g(x), 得到g(x) = e^(∫ P(x)dx).
但其实只需要求出一个(非零解)即可.
代入显然可以验证1/cos(x)是g'(x) = tan(x)g(x)的一个解,
所以用1/cos(x)作这个g(x)是没问题的.

为什么这个1/cos(x)没有包含在通解中却能满足方程呢?
原因是其"逐段"包含在通解中: 在cos(x)的零点kπ+π/2的点处无定义.
在两个零点之间符号恒定, 在cos(x) > 0的区间上C = 1, 在cos(x) < 0的区间上C = -1.
所以真正写方程g'(x) = tan(x)g(x)的通解时, C其实可以是这样的"逐段"常数函数.
当然一般是不会写这么详细的, 特别是这里需要的只是方程的一个解而已.
所以不妨取形式最简单的1/cos(x).

需要注意的就是内部的e^(∫ tan(x)dx)与外部的e^(-∫ tan(x)dx)一定要对应(互为倒数).
如果里边取1/cos(x), 外边就是cos(x), 里边是1/|cos(x)|, 外边就是|cos(x)|.
这样求出的结果总会是一致的.

Answer 2

第一道没有出现绝对值 

追问

给解释解释啥意思啊 书上之前这种题是有绝对值的 是常数C吸收了正负号？ 那只能吸收一个和C相乘的一项吧

追答

e的积分次方 = e的-ln（cos x）次方 = - cos x