Question

***如图所示，AC为⊙○直径且PA⊥AC,BC是⊙○的一条弦，直线PB交直线AC于点D,

DB/DP=DC/DO=2／3
（1)求cos∠BCA的值

Answer 1

连接BO，则。
解：∵DB/DP=DC/DO=2／3，∠D＝∠D
∴ΔDCB∽ΔDOP(SAS)
∴∠BCA=∠POA
∵PD与⊙Ox相切
∴BO⊥DP
设⊙O的半径为x，则
∴DC=2x，DO=3x
∴DB=2√2x
∴BP=√2x
∵OA⊥PA，BO⊥DP，BO＝AO，PO＝PO
∴Rt⊿BPO≌Rt⊿APO(HL)
∴PA=√2x，PO=√3x
∴cos∠BCA=cos∠POA=1/√3=√3/3。

Answer 2

cos∠BCA=√3/3，简要思路如下：
由比例得相似，再得BC∥OP
证△OPA≌△OPB得PA=PB，OB⊥PD，
设半径为1，则OD=3，
由勾股得BD=2√2，
∴PB=PA=√2，
PO=√3，
∴cos∠BCA=cos∠POA=√3/3