Question

请帮忙看一道微积分题

Answer 1

  同学，你这里忽略了三个条件：

   1. 没有注意换限积分的前提条件——被积函数在被积区间上必须可积且单调。

   2.x取值范围是0~2π，而反函数arcsinx对应的原函数sinx在x取值区间必须单调，即反函数存在前提是原函数在定义域上单调（同学你这个应该记得）

  3.当同学你注意到第一条而分区间换限时，就会发现有(0,√2)这个分区间，而√2代入原式分母为0，因此用同学你这种方法会涉及到反常积分（或者称为瑕积分）的内容而我不知道同学你是否学过反常积分，所以我就用另外一种更简洁且避免以上问题的解答方法，如下图：

 

 

 

 

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追问

非常感谢，但是我对这一块仍然有些模糊，这个题是不是完全不能用我这方法做啊？就是换元的方法，如果把区间分割开，可以做吗？要是能的话，你能帮我写写详细步骤吗？多谢你啊！！

追答

你先阅读一下这个网页：

  解释一下你有可能的疑问：

1.在将区间换算成arcsinx定义域区间时，由于换算后正负可能会发生变化，但我分解后的三个积分，每一个值都是正的，于是我给换元后的积分都加上绝对值，以规避这个问题。

2.换算发生变化是因为在-π/2~π/2上sinx单调递增，而在被换算区间π/2~3π/2上sinx但单调递减，因此要添一个负号。

PS:差点忘了跟你讲，倒数第四行涉及了瑕积分，在计算瑕积分时，端点值取其极限值。

Answer 2

反正弦的值域范围不是0到2pi，所以设完之后的那步等式不对
正确做法把x分成x/2，就可以分情况去除根号

追问

具体的还是不会，望给予详细步骤